Cap7. – Dynamic Models – Distributed Parameter Systems

Q7.1 – Describe why distributed parameter models arise in process engineering applications.

Os modelos a parâmetros distribuídos surgem naturalmente nas aplicações em engenharia de processos, pelo fato da maioria dos fenômenos apresentarem inerentemente variações espaciais. Entretanto, devido ao grau de dificuldade que cresce à medida que aumenta-se o número de dimensões a serem contempladas pelo modelo, geralmente faz-se algumas simplificações de modo a facilitar a resolução. Como exemplo de alguns processos que tem variações espaciais: reatores tubulares ( e aqui), reatores de membrana, trocadores de calor, transporte e reação em catalisadores, e etc.

Q7.3 – What are the roles of initial conditions and boundary conditions in the formulation of distributed parameter models? Describe the three principal types of boundary conditions and give some examples of their use in practical modelling problems.

A derivação das condições iniciais e de contorno começa com a investigação do domínio do sistema de EDPs no modelo à parâmetros distribuídos. As condições de contorno são especificadas para todo tempo em cada fronteira do problema. Elas aparecem em três formas principais: Dirichlet – o valor da função é especificada no contorno; Neumann - quando tem-se uma EDO ou uma EDP, que especifica os valores que a derivada da função tem nos limites do domínio; Robbin – é uma mistura das duas condições anteriores, especifica uma combinação linear dos valores da função e de suas derivadas nos limites do domínio.

Apresentação da resolução de EDPs no matlab

Apostila EDPs

Q7.5 – Describe the classes of modelling assumptions which affect the form of DPS model equations. Give examples illustrating the possible effects.

As hipóteses que afetam o modelo das equações em um DPS são:

• A forma do volume (onde será aplicado as equações de conservação) – determina o sistema de coordenadas a ser utilizado, afeta o modelo matemático nos termos de convecção e difusão.
• Tamanho do volume – balanços em volumes muito grandes ( em qualquer sistema de coordenadas) pode necessitar de condições de contorno especiais.
• Fases do processo – fase sólida em um volume implica ausência de convecção.
• Condições de escoamento – o escoamento empistonado implica em convecção na direção do escoamento com vazão constante em todas as outras direções. A condição do escoamento determina o vetor que descreve o fluxo convectivo.
• Condições de mistura – mistura perfeita em qualquer sistema de coordenada implica na ausência de difusão e distribuição uniforme das propriedades intensivas.

Abaixo alguns exemplos da utilização dessas diversas hipóteses (fases envolvidas, a forma do volume (esférico, plano, cilíndrico), mistura, escoamento,…) na simulação de alguns processos comumente encontrados em processos.

Q7.6 – Describe the three main forms of partial differential systems which arise from distributed parameter modelling. What are the most common forms in process engineering?

Seja a EDP da seguinte forma:

As principais formas que aparecem no desenvolvimento de modelos distribuídos são classificadas da forma:

• – parabólica – nos modelos à parâmetros distribuídos este tipo de equação surge quando nenhuma simplicação é feita.
• – hiperbólica – surge nos DPS quanto não há difusão.
• – elíptica – surge quando assume-se estado estacionário.

Estas formas aparecem frequentemente na engenharia de processos, e depende do objetivo do modelo e das hipóteses adotadas.