Publicado por: Alice | Julho 10, 2008

Aula 02 (Cap 4) – 10/07/08

Cap 4 – Constituve Relations

Q4.1-Describe the need for constitutive equations in process modelling.

As equações constitutivas são essenciais no desenvolvimento de um modelo. Quando se escreve as equações de conservação, existem muitos termos que dependem de definição ou cálculo. Estas exigências originam um range enorme de equações constitutivas para problemas específicos. Podem ser divididas em cinco classes:

  1. Taxas de transferência: massa, energia…
  2. Taxa de reações
  3. Relações de propriedades: relações e restrições termodinâmicas, relações de equilíbrio…
  4. Relações de balanço no volume: relações entre as regiões de balanço de massa e energia…
  5. Restrições dos equipamentos e de controle.

A4.2-The CSTR carries out a complex multi-component reaction sequence given by:

A+B \longrightarrow X, B+X \longrightarrow Y, B+Y\longrightarrow Z

The reactions have rate constants of k1, k2 and k3.
(a) Given a fresh feed consisting of A and B, with inlet concentrations of CAi and CBi, develop a mathematical model which describes the process dynamics assuming that the reactor operates isothermally.
(b) If the reactions are exothermic with heat of reaction \Delta H_R, develop the model for the non-isothermal case.
(c) Develop a further enhancement of the model where a cooling water coil of surface area A is inserted into the reactor to control the reactor temperature to a nominated setpoint.

Para o caso (a):

Como o reator é isotérmico, apenas os balanços materiais por componente são necessários para descrever o comportamento dinâmico do reator:

\frac{dC_jV}{dt} = F_iC_{ji} - F_oC_{jo} - r_kV , onde j é o componente, ‘i’ refere-se a entrada e ‘o’ à saída, e k à reação. Para os componentes A, B, X, Y e Z, tem-se:

\frac{dC_A}{dt} = \frac{F}{V}(C_{Ai} - C_{Ao}) - r_1

\frac{dC_B}{dt} = \frac{F}{V}(C_{Bi} - C_{Bo}) - r_1 - r_2 - r_3

\frac{dC_X}{dt} = \frac{F}{V}(C_{Xi}- C_{Xo}) + r_1 - r_2

\frac{dC_Y}{dt} = \frac{F}{V}(C_{Yi}-C_{Yo}) + r_2 - r_3

\frac{dC_Z}{dt} = \frac{F}{V}(C_{Zi}- C_{Zo}) + r_3

Conhecendo-se as concentrações iniciais dos componentes, as taxas das reações 1, 2 e 3. Com as demais equações constitutivas (estequiométricas), e com os parâmetros (V, F), pode-se prever o comportamento das concentrações de cada componente ao longo do tempo.

No caso (b):

Neste caso, o reator não-isotérmico, um balanço de energia faz-se necessário para acompanhar a variação da temperatura no reator com o tempo:

\frac{d \rho V C_p T_o}{dt} = FC_p(T_i - T_o) - \Delta H_R V , se \rho , C_p e V são constantes:

\frac{d T_o}{dt} = \frac{F}{\rho V} (T_i - T_o) - \frac{\Delta H_R}{\rho C_p} . Assim tem-se a variação da temperatura da saída do CSTR com o tempo.

No caso (c):

Agora, com a inserção de um camisa de refrigeração no reator para manutenção da temperatura do reator no set-point, é necessário incluir o termo da troca de calor entre a camisa e o reator, e um balanço de energia para a camisa. Sendo To a temperatura do reator e Tc a temperatura do fluido da camisa.

Q=UA \Delta T

\frac{dT_o}{dt} = \frac{F}{\rho V} (T_i - T_o) - \frac{\Delta H_R}{\rho C_p} - \frac{UA}{\rho C_p V} (T_o - T_c)

E para a camisa:

\rho_c V_c \frac{dT_c}{dt} = F Cp (T_{co} - T_{c} + UA (T_o - T_c) .

Conhecendo-se o coeficiente global de troca de calor (U), a área (A) e as temperaturas de entrada e saída do fluido de resfriamento, tem-se a descrição do sistema.

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