Com o desenvolvimento, o aumento da complexidade dos processos químicos e crescente necessidade de melhorias contínuas nestes, por fatores econômicos e principalmente ambientais; o uso dos simuladores de processos tem aumentado significativamente em todos os segmentos industriais.

Dentre várias aplicações da simulação de processos químicos, pode-se citar:

• melhoria dos processos químicos existentes;
• otimização de processos;
• controle;
• avaliação de novas alternativas para um processo;
• análise de risco;
• análise de viabilidade técnica-econômica;
• encontrar falhas em equipamentos que degradam o desempenho do processo;
• diminuir a necessidade de experimentos necessários para análise do processo;
• avaliar o comportamento do modelo frente a perturbações.

Durante o processo de projeto ou da operação de uma planta, por questões econômicas, de segurança e tempo dentre outras, a simulação tem importância fundamental, com ela pode-se prever comportamentos frente a determinado fator, em menor de tempo e a custo menor. Entretanto, nem sempre é fácil modelar e simular determinado processo. Á medida que a complexidade do sistema aumenta, cresce a necessidade do uso de ferramentas cada vez mais específicas, o que não é simples. Muitas vezes, o uso de simuladores baseados em fluxograma, ou baseados em equações, ou o CFD, não são capazes de atender aos objetivos de processos mais complicados, necessita-se em alguns casos da junção destas ferramentas. Surgem assim modelos híbridos, que fazem uso das ferramentas de modelagem de processos com técnicas CFD.

Como exemplo do uso de ferramentas de modelagem de processos juntamente com a técnica CFD, é descrita no artigo “Optimize therephtahaldehyde reactor operations”, disponível aqui. O TPAL (therephtahaldehyde) é um intermediário para vários polímeros como, cristal líquido, polímeros condutores de elétrons e fibras poliméricas, além de ser usado na química fina. Entretanto, o problema que impede sua aplicação são os custos de produção. Os reatores utilizados neste processo são multitubulares de leito empacotado. apresentam operação altamente complexa e difícil de ser realizada. A estratégia utilizada para otimizar as condições de operação do reator, foi a modelagem híbrida, uma junção da modelagem avançada de processos (APM) com a fluidodinâmica computacional (CFD). Assim, pode-se considerar vários fenômenos em micro escala no lado do tubo, como reação química, adsorção, transferência de calor e massa no leito catalítico (incluindo difusão e reação intra-partícula), a resistência a transferência de calor entre o leito e a a parede do tubo, a distribuição do fluxo do fluido refrigerante, e a transferência de calor em geometrias complexas ao mesmo tempo. Os modelos que não consideram todos estes efeitos não são completamente preditivos, e resultam em riscos como análise errada dos resultados, não encontrar o ponto ótimo real do processo e projetos com falhas na segurança.  Vê-se claramente a importância do uso dos simuladores em projeto, análise e otimização de processos químicos, principalmente em processos complexos como o citado acima.

As simulações CFD possuem limitações, principalmente nas áreas de de turbulência, radiação, combustão, escoamentos multifásicos, etc. Entretanto o uso conjunto do CFD com outras técnicas de simulações produzem resultados muito bons em muitos casos, alguns exemplos podem ser encontrados nos sites: http://www.psenterprise.com/gproms/applications/index.htm, http://www.psenterprise.com/gproms/brochures/hybrid_multizonal.pdf .

Cap7. – Dynamic Models – Distributed Parameter Systems

Q7.1 – Describe why distributed parameter models arise in process engineering applications.

Os modelos a parâmetros distribuídos surgem naturalmente nas aplicações em engenharia de processos, pelo fato da maioria dos fenômenos apresentarem inerentemente variações espaciais. Entretanto, devido ao grau de dificuldade que cresce à medida que aumenta-se o número de dimensões a serem contempladas pelo modelo, geralmente faz-se algumas simplificações de modo a facilitar a resolução. Como exemplo de alguns processos que tem variações espaciais: reatores tubulares ( e aqui), reatores de membrana, trocadores de calor, transporte e reação em catalisadores, e etc.

Q7.3 – What are the roles of initial conditions and boundary conditions in the formulation of distributed parameter models? Describe the three principal types of boundary conditions and give some examples of their use in practical modelling problems.

A derivação das condições iniciais e de contorno começa com a investigação do domínio do sistema de EDPs no modelo à parâmetros distribuídos. As condições de contorno são especificadas para todo tempo em cada fronteira do problema. Elas aparecem em três formas principais: Dirichlet – o valor da função é especificada no contorno; Neumann - quando tem-se uma EDO ou uma EDP, que especifica os valores que a derivada da função tem nos limites do domínio; Robbin – é uma mistura das duas condições anteriores, especifica uma combinação linear dos valores da função e de suas derivadas nos limites do domínio.

Apresentação da resolução de EDPs no matlab

Apostila EDPs

Q7.5 – Describe the classes of modelling assumptions which affect the form of DPS model equations. Give examples illustrating the possible effects.

As hipóteses que afetam o modelo das equações em um DPS são:

• A forma do volume (onde será aplicado as equações de conservação) – determina o sistema de coordenadas a ser utilizado, afeta o modelo matemático nos termos de convecção e difusão.
• Tamanho do volume – balanços em volumes muito grandes ( em qualquer sistema de coordenadas) pode necessitar de condições de contorno especiais.
• Fases do processo – fase sólida em um volume implica ausência de convecção.
• Condições de escoamento – o escoamento empistonado implica em convecção na direção do escoamento com vazão constante em todas as outras direções. A condição do escoamento determina o vetor que descreve o fluxo convectivo.
• Condições de mistura – mistura perfeita em qualquer sistema de coordenada implica na ausência de difusão e distribuição uniforme das propriedades intensivas.

Abaixo alguns exemplos da utilização dessas diversas hipóteses (fases envolvidas, a forma do volume (esférico, plano, cilíndrico), mistura, escoamento,…) na simulação de alguns processos comumente encontrados em processos.

Q7.6 – Describe the three main forms of partial differential systems which arise from distributed parameter modelling. What are the most common forms in process engineering?

Seja a EDP da seguinte forma:

As principais formas que aparecem no desenvolvimento de modelos distribuídos são classificadas da forma:

• – parabólica – nos modelos à parâmetros distribuídos este tipo de equação surge quando nenhuma simplicação é feita.
• – hiperbólica – surge nos DPS quanto não há difusão.
• – elíptica – surge quando assume-se estado estacionário.

Estas formas aparecem frequentemente na engenharia de processos, e depende do objetivo do modelo e das hipóteses adotadas.

A implementação dos problemas (Hangos e Cameron (2001))propostos em Scilab:

A5.8 – (EDO)

A5.8 – (EAD)

A6.6

Questões capítulo 5: Dynamic models – Lumped Parameter systems

Q5.3 – When is it likely that a momentum balance would be used in modelling a process system?

O balanço de momento deve ser utilizado quando tem-se sistemas mecânicos e em sistemas com escoamento onde certos tipos de forças atuam (pressão, viscosas, gravitacional, …). Uma forma da equação de momento amplamente utilizada é a equação de Bernouli.

Q5.4 – What are dimensionless variables? Why is the concept important?

Variáveis adimensionais, como o próprio nome diz, são as variáveis que não tem dimensão. São muito utéis quando trabalha-se em sistemas em que as propriedades físico-químicas estão em diferentes sistemas de unidades, que pode dificultar o entendimento pelas ordens de grandezas diferentes envolvidas. A adimensionalização das variáveis, faz com que estas variem de 0 a 1 geralmente, o que facilita a análise do processo, bem como a resolução de determinado modelo, onde o range das variáveis são muito diferentes.

Q5.5 – What is the aim of normalizing conservation balance equations?

A normalização das equações de balanço é feita com a substituição das variáveis pelas suas respectivas variáveis adimensionais. O objetivo da normalização é obter nas equações de balanços números adimensionais (Re, Bi, Da, Fr, etc…) de forma a facilitar a análise, compreensão de determinado fenômeno. O uso ou não das equações normalizadas dependerá do objetivo do modelo, da conveniência ou não.

Q5.7 – What are the advantages and disadvantages of writing conservation balances in intensive variable form?

O uso de equações de balanço escritas em variáveis intensivas em determinados sistemas pode ser vantajoso, por oferecer diretamente a variação da variável de interesse (geralmente a variável medida), como a concentração, a temperatura, a pressão, … Entretanto, a construção destes modelos pode ser mais difícil, bem como a solução pode trazer complicações adicionais.

Q5.9 – Why is the index of a DAE system important and how can it be assessed? What factors give rise to high-index problems?

A avaliação do índice de um sistema de DAE é importante por oferecer informações sobre possíveis problemas durante a implementação do modelo, e é feita a partir da verificação de quantas diferenciações são necessárias para transformar um sistema de DAE em ODE. Os métodos numéricos podem falhar no controle dos erros da solução, até falhar completamente, a depender do índice do sistema de DAE. Os fatores que fazem com que o sistema tenha um alto-índice são: a escolha das variáveis especificadas (de projeto), o uso de “forcing functions” e questões da modelagem (equações inconsistentes, …).

Q5.11 – Describe what is meant by model stability and how is it assessed? What does this tell you about the underlying behaviour of the model of the system?

A estabilidade de um modelo diz respeito ao comportamento do mesmo frente à mudanças paramétricas, podendo apresentar multiplicidade de estados estacionários, oscilações sustentadas, instabilidade, etc… A avaliação da estabilidade de um sistema é feita com base nos autovalores, que vai caracterizar a resposta às pertubações.

Sites visitados:

http://www.feq.unicamp.br/~cobeqic/tPT13.pdf

http://en.wikipedia.org/wiki/Bifurcation_theory

http://www.worldscibooks.com/chaos/etextbook/5798/5798_chap1.pdf

http://www.egwald.ca/nonlineardynamics/bifurcations.php

http://monet.physik.unibas.ch/~elmer/pendulum/bif.htm

http://hopf.chem.brandeis.edu/yanglingfa/pattern/rd/LN_Bifurcation.pdf

Cap 4 – Constituve Relations

Q4.1-Describe the need for constitutive equations in process modelling.

As equações constitutivas são essenciais no desenvolvimento de um modelo. Quando se escreve as equações de conservação, existem muitos termos que dependem de definição ou cálculo. Estas exigências originam um range enorme de equações constitutivas para problemas específicos. Podem ser divididas em cinco classes:

1. Taxas de transferência: massa, energia…
2. Taxa de reações
3. Relações de propriedades: relações e restrições termodinâmicas, relações de equilíbrio…
4. Relações de balanço no volume: relações entre as regiões de balanço de massa e energia…
5. Restrições dos equipamentos e de controle.

A4.2-The CSTR carries out a complex multi-component reaction sequence given by:

The reactions have rate constants of k1, k2 and k3.
(a) Given a fresh feed consisting of A and B, with inlet concentrations of CAi and CBi, develop a mathematical model which describes the process dynamics assuming that the reactor operates isothermally.
(b) If the reactions are exothermic with heat of reaction , develop the model for the non-isothermal case.
(c) Develop a further enhancement of the model where a cooling water coil of surface area A is inserted into the reactor to control the reactor temperature to a nominated setpoint.

Para o caso (a):

Como o reator é isotérmico, apenas os balanços materiais por componente são necessários para descrever o comportamento dinâmico do reator:

, onde j é o componente, ‘i’ refere-se a entrada e ‘o’ à saída, e k à reação. Para os componentes A, B, X, Y e Z, tem-se:

Conhecendo-se as concentrações iniciais dos componentes, as taxas das reações 1, 2 e 3. Com as demais equações constitutivas (estequiométricas), e com os parâmetros (V, F), pode-se prever o comportamento das concentrações de cada componente ao longo do tempo.

No caso (b):

Neste caso, o reator não-isotérmico, um balanço de energia faz-se necessário para acompanhar a variação da temperatura no reator com o tempo:

, se e V são constantes:

. Assim tem-se a variação da temperatura da saída do CSTR com o tempo.

No caso (c):

Agora, com a inserção de um camisa de refrigeração no reator para manutenção da temperatura do reator no set-point, é necessário incluir o termo da troca de calor entre a camisa e o reator, e um balanço de energia para a camisa. Sendo To a temperatura do reator e Tc a temperatura do fluido da camisa.

E para a camisa:

.

Conhecendo-se o coeficiente global de troca de calor (U), a área (A) e as temperaturas de entrada e saída do fluido de resfriamento, tem-se a descrição do sistema.

Cap 3 – Conservation principles

Q3.1-Describe the difference between open, closed and isolated systems. What are process engineering examples of these systems?

Em um sistema aberto, há fluxo de massa e energia através do espaço de interesse, é o tipo de sistema mais comum na PSE. Como exemplos: reatores de fluxo contínuo, sistemas de separação líquido-gás. Nos sistemas fechados, não há transferência de massa através das fronteiras do sistema, mas pode haver transferência de energia, como exemplo: um sistema batelada, onde não há adição de massa durante o processo, mas há controle da temperatura. Nos sistemas isolados, não há transferência de massa nem energia através das fronteiras do sistema, não são sistemas comuns na indústria.

Q3.5-What role does the conservation principle play in modelling. In what two fundamental forms does the principle appear? Discuss the reasons that lead to these forms.

As duas formas utilizadas para escrever as equações da conservação são: integral e diferencial. A forma diferencial aplica-se a um volume de dimensões finitas, e a diferencial aplica-se em um volume infinitesimal. A transição de uma forma para outra é feita através da aplicação do teorema da divergência de Gauss.

Q3.6-What are the principal terms that can appear within the conservation balance equation? What form do these terms take and how they related to the physics and chemistry of the application?

Os termos presentes nas equações de balanço são: o termo da variação da propriedade extensiva dentro do volume de controle com o tempo, o termo que contabiliza as entradas e saídas de fluxo através da fronteira do processo e o termo referente ao consumo ou geração. Os termos de acúmulo podem ser de massa, energia, bem como as entradas e saídas, que podem ser por difusão e/ou convecção. Os termos de geração e/ou consumo podem ser devido a reação química, dissipação ou conversão de energia, além de fontes externas (energia gravitacional, elétrica e magnética, além dos efeitos da pressão).

Cap 2 – A systematic approach to model building

Q2.3-Discuss why modelling assumptions are important in building of a model.

As suposições/hipóteses são muito importantes na construção de um modelo por reduzirem a complexidade . Estas hipóteses simplificadoras dependem do conhecimento do sistema, e ajudarão na eliminação de aspectos que não são importantes/relevantes para o modelo.

Q2.4-What is the difference between white, black and grey box models?

Os modelos caixa branca são os fenomenológicos, assim denominados por serem totalmente transparentes para um engenheiro de processo, não usa-se nenhuma medida direta do processo, apenas indiretamente os dados são utilizados (p.ex. parâmetros) . Os modelos caixa preta são os empíricos, e usam apenas medidas experimentais e observações para obter os parâmetros do modelo, o conhecimento do processo está disponível através dos dados medidos e não através dos mecanismos envolvidos no processo. O modelo caixa cinza é a combinação dos dois tipos anteriores, usa a priori o conhecimento do processo para determinar a estrutura e alguns parâmetros, e então usas-se os dados medidos experimentalmente para construir o modelo.

Q2.7-In defining the modelling problem, what basic decisions need to be made before any mathematical modelling starts?

As decisões básicas a serem tomadas antes de começar um modelo matemático são: definição clara do processo, o objetivo do modelo e o critério de validação. O autor apresenta um algoritmo com as etapas a serem observadas no processo de modelagem.

Q2.10-Discuss some general approaches to model validation.

A validação do modelo é de uma etapa importantíssima na construção do modelo, nesta etapa vê-se se o modelo proposto atendeu aos objetivos. Através de dados vindos de uma planta real ou piloto, faz-se a análise da concordância entre o modelo e o real, utilizando testes de hipóteses, estimativa do erro, … É importante analisar a qualidade dos dados experimentais, a concordância ou não do modelo com os dados depende deste aspecto.

Cap 1 – The Role of models in process systems engineering

Q1.5-Explain the fundamental differences between stoichastic, empirical and mechanistic models. What are some of the factors which make it easier or harder to develop such models?

Os modelos mecanísticos ou fenomenológicos são desenvolvidos a partir dos mecanismos de transferência de massa, calor e momento; são os modelos ditos “caixa-branca”. Os modelos empíricos são resultantes de experimentos e observação, e geralmente não contam com os princípios básicos e mecanismos de transporte presentes nos sistemas estudados; ditos “caixa-preta”. A combinação destes dois, dão origem aos chamados “caixa-cinza”. Os modelos estocásticos são usados para representar sistemas que possuem variação natural randômica, geralmente descritos por distribuições de probabilidades; são associados a sistemas que não possuem os fenômenos relacionados a causa-efeito e sim probabilidades. Apesar desta divisão, durante a construção de um modelo, geralmente usa-se um “mix” destes tipos. Por exemplo, um modelo fenomenológico pode conter partes empíricas, como expressões de taxa (cinética, transferência de calor, …). A facilidade/dificuldade associada na construção de cada tipo de modelo depende do objetivo do modelo. Embora os modelos fenomenológicos ofereçam uma descrição fiel do sistema, dificilmente será possível sua implementação, dado o grau de complexidade inerente, excetuando os sistemas mais simples, desta forma lançamos mão de algumas simplificações, e da ajuda de relações empíricas.

Q1.6-What are some of the advantages and disadvantages in developing and using empirical versus mechanistic models for process applications?

Os modelos fenomenológicos oferecem uma descrição mais próxima do real, por serem baseados nos primeiros princípios (fenômenos de transporte), e portanto permite um número maior de análises, extrapolação, por conhecer-se os mecanismos envolvidos no fenômeno em estudo. Entretanto, apesar da descrição apurada, a depender do sistema, a complexidade é tamanha que a implementação torna-se extremamente difícil, que requer grande esforço computacional, o que pode tornar inviável a utilização do modelo, a menos que hipóteses simplificadoras sejam feitas. Os modelos empíricos, por serem baseados em experimentos e observação, são mais simples de serem tratados, requerem menor esforço computacional, entretanto, é restrito para apenas as situações observadas, diminuindo as possibilidades de análise, extrapolação; justamente por não conhecer-se os mecanismos internos associados, apenas entradas e saídas.

Interessante notar que mesmo trabalhando com modelagem e simulação de processos químicos a algum tempo, nunca tinha pensado na história por “trás”, nos longos anos de pesquisa e desenvolvimento para que chegar às atuais técnicas que utilizamos no cotidiano. Muitas vezes, lemos, estudamos sobre filósofos, cientistas, porém às vezes esquecemos da importância e da ligação entre um e outro, para chegar ao que temos hoje.

De acordo com o artigo, História da Matematização da Natureza, começando com o gregos, os primeiros a ter uma visão teórica da natureza, e evoluindo até Galileu, onde teve início a análise matemática dos fenômenos naturais. Entretanto, esta só foi possível com o desenvolvimento da matemática, com a criação: da geometria analítica (Descartes), do cálculo diferencial e integral (Newton e Leibniz), as aplicações do cálculo (irmãos Bernouli), dentre outros.

Com isso, pudemos chegar aos modelos que estamos tão acostumados a lidar na mecânica dos fluidos (hidráulica, hidrodinâmica), na termodinâmica (caldeiras, turbinas), e etc… Com a invenção dos computadores e do cálculo numérico, desenvolveu-se técnicas de simulação.

Vale ressaltar, que a matematização da natureza não é serve apenas à interesses científicos, bem como atende às necessidades tecnológicas, como por exemplo, na criação de um novo processo, tudo começa, com um modelo, uma idéia, uma representação do real, que através das ferramentas matemáticas adequadas (modelo matemático + parâmetros + simulação) pode-se analisar todo o processo (técnica e economicamente).

O que na verdade, é o propósito de um modelo, independente da área (social, econômica, biológico, tecnológico, …). Através do modelo pretende-se analisar, prever o comportamento do sistema modelado em determinadas condições, com ressaltado no artigo Historical Perspectives on Models and Modeling. Dentre deste contexto, entram os conceitos do “contido” e do “residual”, Modelagem matemática: o contido e o residual. O contido é o que está presente no modelo, o que é explicado/previsto pelas equações do modelo. O residual é o que não foi representado no modelo, servindo para dar historicidade à ciência: tensionando-a continuamente contra seus limites e sua falibilidade, e para a dinâmica: constituirem desafios ao conhecimento, as suas mudanças e sofisticação. Ou seja, os residuais servem como uma forma de validar a proximidade/fidelidade do contido, o que depende dos objetivos, do conhecimento do sistema, da experiência. Talvez, seja exatamente por isso que certos residuais existem. Por exemplo, a tecnologia está em fase embrionária de desenvolvimento e não há conhecimento suficiente para que todos os seus elementos sejam representados adequadamente, o que revelerará falhas/incosistência no modelo; ou mesmo, falta de experiência/conhecimento de quem está modelando determinado fenômeno.

Dentro deste contexto, vê-se a inquestionável necessidade e uso dos modelos. No dia-a-dia, por exemplo, vemos uma gama enorme de informações que usam modelos: na medicina, nos esportes, na previsão do tempo, na música, e por aí vai… Nos sites abaixo, alguns grupos de pesquisa/desenvolvimento com exemplos dessas aplicações:

Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia

GESIC – Grupo de experimentação e simulação computacional em física médica

Núcleo Interdisciplinar de Comunicação Sonora

Divisão de Sensoriamento Remoto

Solução Corretiva Baseada no Risco

E na engenharia química, os modelos são usados dentre outras aplicações, para: estudo de processos existentes; avaliar novas alternativas para o processo; avaliar o comportamento frente à perturbações; análise de risco; estudos de otimização; controle do processo; análise de viabilidade técnico-econômicas.

“Eu penso que seria uma aproximação relativamente boa da verdade (que é demasiadamente complexa para permitir qualquer coisa melhor que uma aproximação) dizer que as idéias matemáticas têm a sua origem em situações empíricas … Mas, uma vez concebidas, elas adquirem uma identidade e crescimento próprios governados quase que inteiramente por motivações estéticas…” J. Von Newmann – 1903 – 1957